viernes, 26 de noviembre de 2010

Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas  cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorizacion . Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

FI:internet:http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

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Factor común


Representación gráfica de la regla de factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
 c (a + b) = c a + c b \,
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
 c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
 3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio


Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:
 (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,
un trinomio de la forma: a^2 + 2 a b + b^2 \;, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
 (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,
simplificando:
(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,

Producto de dos binomios con un término común


Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,
Ejemplo
(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,
agrupando términos:
(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,
luego:
(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,

Producto de dos binomios conjugados

Véase también: Conjugado (matemática)

Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
 (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
Ejemplo
(3x+5y)(3x-5y) =  \,
(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,
agrupando términos:
(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

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Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

FI: libro de algebra p.25 editorial publicaciones

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