PENSAMIENTO NUMERICO Y ALGEBRAICO: 3.1.OPERACIONES ALGEBRAICAS CON MONOMIOS,BINOMIOS Y TRINOMIOS

1) Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x +2)²

b) (x -1)²

c) (2x +3)²

d) (x +2)(x –2)

e) (2x –1)(2x +1)

f) (3x – y)²

g) (2x –3y)(2x +3y) = 4x² –9y²

h) (x -1)³

i) (x +5)²-(x-3)²

2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

a) 3x⁴-2x²

b) x² –1

c) x² +6x +9

Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)²= x² +6x +9

d) x² + 4 +4x

e) 4x²-y²

f) 9 –6x +x²

g) 2x –4x²y

h) x² +x y +x z +y z

Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y)

i) a x –ay –b x +by

3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos

a) x²+ 2x+.....

b) 4x² + 8x+......

Solución: 4x² + 8x +4 = (2x +2)²

c) 9x² -....+ 16

E) Calcula el grado de los siguientes polinomios:

1. –2x²y³ 2. . x²+ y²+ 2xy

3. Solución: 2+4+2 =8

4. (x +5)²-(x-3)²

5. 7x⁵-3x²-6x⁴+2+x

F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.

1) 3(x³ –5x +7) –(2x³ +6x²+11x+4)

3) 2x(4x² –6x +2) +3 (5x² –3x-4)- 14 x²

4) (3x³ –x + 5) (2x³ +1)

5) (x³y³ + 2) (x³y³ - 2)

6) (7x³ –5x+3) (2x² +x-1)

Solución: = 4x-12 +21x-9-24 = 25x -45

G) Operaciones con expresiones algebraicas:

1) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado:

2) Multiplica por 20 y simplifica el resultado:

H) Divide los siguientes polinomios:

1) 15 a³b²c : 6 a²c ==

2) 5 x³y²z⁴ : 3 x²z²

3) (2x³ +6x²+11x+4):(x +1)

4) (2x³ +6x²+11x+4) : (x-3)

5) (x⁴ -6x³+5x²-4x+1): (x² –x +5)

6) (x³ +6x²+5x+4): (x² –3x +1)

Solución

x³ + 6x²+5x +4 x² –3x +1

-x³ +3x² -x x +9

/ 9x² + 4x +4

-9x²+ 27x-9

/ 31x –5

7) (x⁴ -5x³+3x²-2x+5): (x² +x -3)

Nota. Cuando el divisor es un binomio de la forma (x-a) se puede aplicar la regla de Ruffini, que utiliza sólo los coeficientes

Ejemplo. Divide x³-3x²+ 5x-7 entre (x-3)

Se hace la siguiente disposición de la figura.

El cociente es x²+5 y el resto 8

1) (x³ –x² -16x -3): (x -3)

Solución: Utilizando Ruffini quedaría

Nos queda que el cociente es x² +2x – 10 y el resto -33

2) (2x³ +6x²+11x+4):(x +1)

3) (3x⁴ +6x²+11x+4) : (x-2)

4) (x³ + 1) : (x +1)

5) (–x⁴ +2x³ +5x -3):(x+3)

Ampliación

Teorema del resto.

El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a) es el valor numérico del polinomio en x =a, es decir el resto es el valor de P al sustituir la x por a,

R =P(a).

Ejemplo: El resto de la división ( x³ -2x² +3x -4):(x-1) es:

1³-2.1²+3.1-4=1-2+3-4= -2 (comprobarlo)

1. Calcula el resto de la división (x³ –x² -16x -3): (x -3) sin efectuarla

2. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta:

a) P(x) = x³ -x² +k.x -4, Q(x) = (x-2)

b) P(x) = x⁴ -2x³ +3x² –k x -5; Q(x) = (x +1)

2. Calcula el valor de k, para que el resto de la división del polinomio x⁴ –k x³ +3x² – x +4 entre el binomio x +2 nos dé15.

Factorización

Factorizar un polinomio es ponerle como producto de sus factores (se llama también descomposición en factores del polinomio).

Para factorizar hay que tener en cuenta las identidades notables, el sacar factor común, la regla de Ruffini, y la resolución de ecuaciones (de 2º grado) para la búsqueda de raíces.

Ejemplo: Factoriza x³-5x²+ 4x

Solución

En primer lugar se saca factor común x, x³-5x²+ 4x =x(x²-5x+4)

El segundo factor es un polinomio de 2º grado, y para encontrar los otros factores se puede obtener las raíces aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado.

x = por tanto los factores son (x-4) y (x-1)