viernes, 30 de diciembre de 2011

Imagenes Animadas - Gifs Animados

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jueves, 29 de diciembre de 2011

EL PENSAMIENTO ES REALIDAD

viernes, 26 de noviembre de 2010

factorizacion

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
FI:internet http://es.wikipedia.org/wiki/FactorizaciÃ³n

2♥♥Factor común.- se llama así al factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio.
Ejemplo 1: 2ax2-4ay+8a2x
Analicemos término por término:
El primer término podemos expresarlo como: 2axx
El segundo término podemos expresarlo como: -2*2ay
Finalmente el tercer término podemos expresarlo como: 4*2aax
Como podemos observar en los tres términos que componen el polinomio tenemos el término 2a, a este término se le conoce como factor común.
De esta forma 2ax2-4ay+8a2x, puede expresarse como: 2a (x2-2y+4ax)

FI: libro de algebra p.65pppppublicaciones cultural
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En ocasiones para poder resolver un problema que involucre expresiones algebraicas es conveniente representarlas como productos, cuando esto sea posible se dirá que se ha factorizado y presentamos algunos casos de los más comunes en álgebra elemento

factor comun.

Factorizar por factor común una expresión algebraica es representarla como un producto mediante el uso de una o varias veces de la propiedad distributuva de los números reales, que como ya sabemos es: xy + xz = x(y+z).

FI: microsoft student encarta premium 2009 reservados todos los derechos

Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorizacion . Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

FI:internet:http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

2♥♥

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c (a + b) = c a + c b \,$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es

$c (a + b) \,$ (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo: $3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

un trinomio de la forma: $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo: $(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

simplificando:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

$(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,$

Ejemplo: $(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,$

agrupando términos:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,$

luego:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,$

Producto de dos binomios conjugados

Véase también: Conjugado (matemática)

Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,$
Ejemplo: $(3x+5y)(3x-5y) = \,$; $(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,$

agrupando términos:

$(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,$

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

FI: microsoft student con encarta premium 2009 todos los derechos reservados.

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Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

FI: libro de algebra p.25 editorial publicaciones

3.1.OPERACIONES ALGEBRAICAS CON MONOMIOS,BINOMIOS Y TRINOMIOS

1) Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x +2)²

b) (x -1)²

c) (2x +3)²

d) (x +2)(x –2)

e) (2x –1)(2x +1)

f) (3x – y)²

g) (2x –3y)(2x +3y) = 4x² –9y²

h) (x -1)³

i) (x +5)²-(x-3)²

2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

a) 3x⁴-2x²

b) x² –1

c) x² +6x +9

Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)²= x² +6x +9

d) x² + 4 +4x

e) 4x²-y²

f) 9 –6x +x²

g) 2x –4x²y

h) x² +x y +x z +y z

Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y)

i) a x –ay –b x +by

3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos

a) x²+ 2x+.....

b) 4x² + 8x+......

Solución: 4x² + 8x +4 = (2x +2)²

c) 9x² -....+ 16

E) Calcula el grado de los siguientes polinomios:

1. –2x²y³ 2. . x²+ y²+ 2xy

3. Solución: 2+4+2 =8

4. (x +5)²-(x-3)²

5. 7x⁵-3x²-6x⁴+2+x

F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.

1) 3(x³ –5x +7) –(2x³ +6x²+11x+4)

3) 2x(4x² –6x +2) +3 (5x² –3x-4)- 14 x²

4) (3x³ –x + 5) (2x³ +1)

5) (x³y³ + 2) (x³y³ - 2)

6) (7x³ –5x+3) (2x² +x-1)

Solución: = 4x-12 +21x-9-24 = 25x -45

G) Operaciones con expresiones algebraicas:

1) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado:

2) Multiplica por 20 y simplifica el resultado:

H) Divide los siguientes polinomios:

1) 15 a³b²c : 6 a²c ==

2) 5 x³y²z⁴ : 3 x²z²

3) (2x³ +6x²+11x+4):(x +1)

4) (2x³ +6x²+11x+4) : (x-3)

5) (x⁴ -6x³+5x²-4x+1): (x² –x +5)

6) (x³ +6x²+5x+4): (x² –3x +1)

Solución

x³ + 6x²+5x +4 x² –3x +1

-x³ +3x² -x x +9

/ 9x² + 4x +4

-9x²+ 27x-9

/ 31x –5

7) (x⁴ -5x³+3x²-2x+5): (x² +x -3)

Nota. Cuando el divisor es un binomio de la forma (x-a) se puede aplicar la regla de Ruffini, que utiliza sólo los coeficientes

Ejemplo. Divide x³-3x²+ 5x-7 entre (x-3)

Se hace la siguiente disposición de la figura.

El cociente es x²+5 y el resto 8

1) (x³ –x² -16x -3): (x -3)

Solución: Utilizando Ruffini quedaría

Nos queda que el cociente es x² +2x – 10 y el resto -33

2) (2x³ +6x²+11x+4):(x +1)

3) (3x⁴ +6x²+11x+4) : (x-2)

4) (x³ + 1) : (x +1)

5) (–x⁴ +2x³ +5x -3):(x+3)

Ampliación

Teorema del resto.

El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a) es el valor numérico del polinomio en x =a, es decir el resto es el valor de P al sustituir la x por a,

R =P(a).

Ejemplo: El resto de la división ( x³ -2x² +3x -4):(x-1) es:

1³-2.1²+3.1-4=1-2+3-4= -2 (comprobarlo)

1. Calcula el resto de la división (x³ –x² -16x -3): (x -3) sin efectuarla

2. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta:

a) P(x) = x³ -x² +k.x -4, Q(x) = (x-2)

b) P(x) = x⁴ -2x³ +3x² –k x -5; Q(x) = (x +1)

2. Calcula el valor de k, para que el resto de la división del polinomio x⁴ –k x³ +3x² – x +4 entre el binomio x +2 nos dé15.

Factorización

Factorizar un polinomio es ponerle como producto de sus factores (se llama también descomposición en factores del polinomio).

Para factorizar hay que tener en cuenta las identidades notables, el sacar factor común, la regla de Ruffini, y la resolución de ecuaciones (de 2º grado) para la búsqueda de raíces.

Ejemplo: Factoriza x³-5x²+ 4x

Solución

En primer lugar se saca factor común x, x³-5x²+ 4x =x(x²-5x+4)

El segundo factor es un polinomio de 2º grado, y para encontrar los otros factores se puede obtener las raíces aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado.

x = por tanto los factores son (x-4) y (x-1)